هندسه فراکتال

نوشته شده توسط



هندسه فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتین فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. او نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی، که برای ما ناشناخته اند.
فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سرتاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند. جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می شود، به تعبیر دیگر خودمتشابه است. وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه های بی شکل به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکل آن، کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند. بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.
در علم ریاضی، فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سه ضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.
تعریف فراکتال
هندسه اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه فراکتال، بر خلاف هندسه اقلیدسی، روش بهتری است برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت. زبانی که این هندسه به وسیله آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست. بنابراین نامرتب نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند. هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است. به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد. در کنار این تئوری، هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد. جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج، ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است. بهترین راه برای تعریف یک فرکتال، توجه به صفتها و نشانه های آن است. یک فرکتال ” نامنظم ” است، بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست. فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند.
فراکتال ها به وسیله” تکرار ” توسعه می یابند، به این معنی که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیتِ شروع است. خصوصیت دیگر این است که فراکتال ” مرکب ” است. اما با این حال می توان آن را به وسیله الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است . (www.naturalarchitecture.blogfa.com)

موزه گوگنهایم در بیلبائو
• فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین، ساحل، دریا و…. حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است. به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. می‌توانیم بگوییم هندسه فراکتالی، حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد! فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. فرکتال را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :
۱- هندسه فرکتال: در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.
۲- فرم فرکتال: محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً مشخصه های هندسی مربوطه را دارد. در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت، فرم های مندلبرت، فرمهای موجود در طبیعت، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal)، خود متشابهی (self similarity)، فرکتال در نقاشی (آثار نقاشانی چون جکسون پالاک) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود. اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت: سطح کره ماه، منظومه شمسی و ستارگان. البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند. این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید، بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.
• فرکتال از منظر هندسی
هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. مندل برت وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود، بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد. فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است
فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
1- اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.
2- در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
3- بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱.۵).
برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح. تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.
• خاصیت خود متشابهی فرکتا لها
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شی باشد. ساده ترین مثال برای یک شی خود متشابه در طبیعت، گل کلم است که هر قطعه کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین طور درخت کاج یک شی خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه ها، پشته های ابر، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.

در تصوير سمت راست بزرگ شده دايره تصوير سمت چپ ديده مي شود.



نمونه ای از خود متشابهي در شكل زير نیز ديده مي شود:

• پيچيدگي در مقياس خرد
در اين بخش نرم افزار Fractal Explorer ارائه مي شود. در اين نرم افزار مدل هاي آماده از فرم هاي مندل بورت نيز وجود دارد كه داراي سيستم پيچيده اي در مقياس خرد است.
• عدم بعدصحيح
اين بخش در فركتال ها بسيار مهم است به طوري كه خيلي از فرمها با اين مشخصه، از فرم هايي با هندسه اقليدسي جدا مي شوند.
- محاسبه بعد فرکتال ها:
اگر بگوييم بعد خط، برابر يک باشد و نيز بعد صفحه، برابر دو باشد، همچنن بعد فضا با عدد سه معرفي شود، فرکتالها بر خلاف همه اينها بعد صحيح ندارند، بعد فرکتالها يک عدد کسري است.
وقتي که گفته مي شود بعد يک فرکتال 1.2 مي باشد اين بدين معني است از خط پيچيده تر و از صفحه سادتر است. محاسبه اين بعد از يك سري فرمول هاي لگاريتمي بدست مي آيد. در اشكال زير تنها به عدد بدست آمده اشاره مي شود. شکل روبه رو يکي از نمونه هاي مشهور فرکتال ها است که به خم وان کخ شهرت دارد. بعد بدست آمده برابر 1.261859 مي باشد


خم وان کخ با بعد 1.2

مجموعه کانتور با بعد 0.630929 فرکتالي با بعد 1.58496


خصوصیات اشکال فرکتال
- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند. (فرآیندهای پویا، فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)
- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی هستند. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود، محصور شده اند.
- مجموعه های فرکتال، از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگترند.
- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
- هندسه فرکتال، بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.
رابطه فراکتال و معماری
با توجه به بیگانگی انسانِ معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت، معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان می دهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود. در بخش فرم هاي فركتال اين موضوع بيشتر مشهود است به طوري كه بسياري از فرمهاي خلقت داراي ساختاري فركتال هستند.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نيز نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي می کنند. در عين پيچيدگي كه فرم هاي فركتال دارند، نبايد فراموش كرد كه فركتال يك هندسه است و از انجام محاسبات هندسي بدست مي آيد.
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند تا به درک بهتری از جریانِ جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. خصوصیت فراکتالی یک ترکیبِ معماری، در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود، همیشه باید مقیاس کوچکترِ دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است. انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن، با طبیعت بیگانه نبودند، معماریشان با نظمِ طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد می کردند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد می کرد، در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نظم فراکتال می بود.
بيش از دو دهه است كه رابطه اي پيچيده و متناقض بين معماري و علوم پيچيده وجود داشته است. گرچه ¬از آن زمان، اصل اين ¬رابطه تغيير يافته، اما نقطة اتصالي به نام هندسه فراكتال بين آنها وجود دارد. هم معماران و هم رياضي دانان، هر كدام حول اين موضوع كه چه چيزي ممكن است هندسه فراكتال را به وجود آورده، تعاريفي ارايه داده اند كه به طرز ناباورانه¬اي شباهت هاي كمي بين تعاريف آنها از معماري فراكتال وجود دارد.
به عنوان مثال مي توان ساختمانهاي فراكتالي از قبيل كاخ هاي مختلف قرون وسطايي، كليساهاي ناموزون و بي تناسب قرن هجدهم، معبدهاي هندويي و آثار فرانك لويد رايت يا لويي ساليوان را نام برد كه حتي اگر داراي يك مشخصه مستقيم و ملموس از هندسه فراكتال باشند، باز هم نمي توان آنها را جز آثاري به حساب آورد كه صرفاً فراكتالي و تنها به همين هدف ساخته شده باشند. هر چند جرج سنتر، ژوزف پيانو، ديويد هيلبرت، هلگ ون كك و كلاو سرپينسكي، گستن جوليا و فليكس هازدرف مطالعاتي روي پروژه هاي بسيار عظيمي كه در هندسه فراكتال پيش رو هستند، انجام داده اند ولي همگي نادرست و غير اصولي و مي¬توان گفت بيشتر متمايل به رياضي اند تا معماري. در حالي كه رياضي دانان و دانشجويان، به هندسه فراكتال در جاي خودش اهميت مي دهند، معماران عموماً به خاطر رابطة آن با تئوري و تئوري كاوس يا نظريه آشوب و علوم پيچيده بيشتر به آن اهميت مي دهند. به اين دليل كه اين معماران معاصر هم مانند معماران تاريخي، به هندسه و رياضيات علاقه چنداني ندارند. اما در واقع ارزش هندسه به خاطر توانايي آن براي ايجاد يك رابطه رمزي و مجازي با چيزهاي ديگر است. بنابراين براي معماران مدرن، هندسه فراكتال علاوه بر شناسايي نمونه جهاني كه از ديدگاه نيوتن و لاپلاس فاصله گرفته، رابطه خوبي با طبيعت يا جهان برقرار كرده است. به اين دليل در اين پروژه، اكثريت وسيعي از معماران، هندسه فراكتال را بخش كامل يا نشانه اي از تئوري كاوس (آشوب) و علم پيچيدگي قلمداد مي كنند.
استفاده از اشكال شكننده اي در معماري پسا مدرن، اصلاً‌ چيز عجيبي نيست براي مثال، بروس گاف، در زمرة اولين معماراني بود كه از ربايشگرهاي شگفت، براي سازمان دادن ميدان نيروي جابه جايي ها در داخل برخي از خانه هايش استفاده كرد.
زاحا حديد، در طرحي كه برندة‌ مسابقة‌ طراحي براي سالن اپراي كارديف بي (Cardiff Bay) شد، مي خواست با استفاده از هندسة شكننده اي، ساختماني بيافريند كه در آن زبان سطوحي كه حامل تغيیر هستند براي رساندن حس تداوم به كار گرفته شده باشد. اما طرح، موضوع مناقشه واقع شد، چرا كه به ذايقة بسياري،‌ زياده از حد پسا مدرن بود و در نتيجه، هرگز اجرا نشد.
• پيچيدگي
چارلز جنکز در سال 1995 بر اساس یافته های جدید علمی در مورد سیر تکوین کیهان و تطور و غیر خطی آن، کتابی به نام معماری پرش کیهانی منتشر کرد. جنکز در این کتاب به تشریح نحوه تکوین کیهان به زبان ساده پرداخت وبیان داشت که جهان به صورت خطی و یک سویه گسترش و تکامل نیافته، بلکه این تکامل به صورت گسترش خطی و سپس رسیدن به مرز بحران و آشفتگی و در نهایت پرش به شرایطی کاملا متفاوت با گذشته صورت گرفته است.
« پیچیدگی نظریه ای است که می گوید چگونه ارگانیسم های در حال پیدایش به لحاظ تاثیر متقابل اجزاء آن بر هم، از حالت تعادل خارج شده (به واسطه افزایش انرژی، ماده یا اطلاعات ) و به مرز بین نظم و آشفتگی می رسد. این مرز همان مکانی است که سیستم اغلب پرش می کند، تقسیم می شود و یا به صورت خلاقانه ای تاثیر متقابل می گذارد. این کار به صورت غیر خطی و غیر قابل پیش بینی انجام می پذیرد. ارگانیسم جدید ممکن است از طریق واکنش و دادن انرژی به صورت مستمر حفظ شود. لذا در یک کیهان زنده و ارگانیک، ارگانیسم ها و پدیده های مختلف خلق می شوند و در یک گسترش خطی به مرز آشفتگی می رسند و در نهایت به ارگانیسم یا پدیده ای متفاوت با حالت قبل پرش می کنند. در این مورد می توان پروسه دگردیسی در پروانه ها و حشرات را مثال زد. به طور نمونه، پروانه کرم ابریشم که دارای پروسه دگردیسی کامل است، در ابتدا به صورت تخم، سپس کرم و بعد پیله و درنهایت پروانه در می آید که هر مرحله کاملا متفاوت با مرحله قبل است و در هر مرحله پرش، ایجاد دگردیسی در ارگانیسم می نماید.

تصويري از ايده شكل گيري مرکز ملی شنا در شهر پکن
• آشوب در معماري
به طور كلي پژوهشگران در حال بررسي پديده آشوب در حوزه هاي مختلفي از علم هستند و اين امر تبديل به يك حالت عمومي شده است. اما تاثير آن در هنر و معماري نه به شكل علمي آن، بلكه به عنوان يك روش طراحي بوده است. عده اي از هنرمندان اين روش را در طراحي به اين ترتيب به كار مي گيرند كه اطلاعاتي را به رايانه داده و امر طراحي را به خودِ رايانه واگذار مي كنند. اتفاقي كه مي افتد روشي شبيه به پديده هاي موجود در طبيعت است. در واقع اين روش طراحي، الگوي خود را از پديده هاي مشابه در طبيعت كه طبق قاعده آشوب عمل مي كنند اقتباس كرده است. هنرمندان از همان دهه 60 آثاري را خلق كردند كه ظاهري تصادفي داشته باشد، اما تابع قواعد بسيار پيچيده اي هستند كه حتي ممكن است خود هنرمند نيز آگاهي كاملي از آن نداشته باشد. مفاهيم آشوب،‌ همچون غير خطي بودن، دوبرابر شدن دورة تناوب و باز خورد،‌ به طور روز افزون در معماري پسا مدرن رواج مي يابند. به قول چارلز جنكز « معماري موج ها و پيچش هايند و معماري اي را خلق مي كنند كه مدام و به طرز غير منتظره اي تاب بر مي دارد،‌ رشد مي كند و كاهش مي يابد.»
اما استفاده از آشوب محدود به معماري پسامدرن نيست. برخي بناهاي سنتي نيز همين ايده ها را به نمايش مي گذارند. براي مثال در ساختمان باروك اپراي پاريس، كه توسط شارل گارنيه (98-1825) طراحي و بين سالهاي 1861 و 1875 بنا شد، مقياس هاي شكننده اي را مي توان ديد. اين بنا شامل تركيب بديعي از سبك هاست كه بر بستري هماهنگ استوار شده اند. وقتي در خيابان اپرا قدم مي زنيد جزئيات، خود همانند بنا تدريجاً برايتان آشكار مي شود: هر چه نزديكتر مي شويد جزئيات بيشتري به چشم مي خورد.

خانه باوينگر (بروس گاف)

محتوای بیشتر در این بخش: مجتمع مسکونیhabitat 67 »

نظر دادن

Make sure you enter all the required information, indicated by an asterisk (*). HTML code is not allowed.